“POWERPOINT SEBAGAI MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS KOMPUTER “

Belajar adalah suatu proses yang kompleks yang terjadi pada diri setiap orang sepanjang hidupnya. Proses belajar itu terjadi karena adanya interaksi antara seseorang dengan lingkungannya. Oleh karena itu, belajar dapat terjadi kapan saja dan dimana saja. Apabila proses belajar itu diselenggarakan secara formal di sekolah – sekolah, tidak lain ini dimaksudkan untuk mengarahkan perubahan pada didir siswa secara terencana, baik dalam aspek pengetahuan, keterampilan, maupun sikap.
Interaksi yang terjadi selama proses belajar tersebut dipengaruhi oleh lingkuangannya, yang antara lain terdiri atas murid, guru, bahan atau materi pelajaran, dan berbagai sumber belajar dan fasilitas (proyektor overhead, video, radio, televisi, komputer, dll). Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi semakin mendorong upaya – upaya pembaharuan dalam pemanfaatan hasil – hasil teknologi dalam proses belajar. Untuk itu, guru dituntut harus memiliki kemampuan menggunakan alat – alat yang dapat disediakan oleh sekolah, dan tidak menutup kemungkinan bahwa alat – alat tersebut sesuai dengan perkembangan dan tuntutan zaman. Disamping itu, guru juga dituntut untuk dapat mengembangkan keterampilan membuat media pembelajaran yang akan digunakannya apabila media tersebut belum tersedia. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), khususnya dalam bidang pendidikan, saat ini penggunaan alat bantu atau media pembelajaran menjadi semakin luas dan interaktif, seperti adanya komputer dan internet.
Media pembelajaran memiliki beberapa fungsi, diantaranya :
1. Media pembelajaran dapat mengatasi keterbatasan pengalaman yang dimiliki oleh para peserta didik. Pengalaman tiap peserta didik berbeda-beda, tergantung dari faktor-faktor yang menentukan kekayaan pengalaman anak, seperti ketersediaan buku, kesempatan melancong, dan sebagainya. Media pembelajaran dapat mengatasi perbedaan tersebut. Jika peserta didik tidak mungkin dibawa ke obyek langsung yang dipelajari, maka obyeknyalah yang dibawa ke peserta didik. Obyek dimaksud bisa dalam bentuk nyata, miniatur, model, maupun bentuk gambar – gambar yang dapat disajikan secara audio visual dan audial.
2. Media pembelajaran dapat melampaui batasan ruang kelas. Banyak hal yang tidak mungkin dialami secara langsung di dalam kelas oleh para peserta didik tentang suatu obyek, yang disebabkan, karena : (a) obyek terlalu besar; (b) obyek terlalu kecil; (c) obyek yang bergerak terlalu lambat; (d) obyek yang bergerak terlalu cepat; (e) obyek yang terlalu kompleks; (f) obyek yang bunyinya terlalu halus; (f) obyek mengandung berbahaya dan resiko tinggi. Melalui penggunaan media yang tepat, maka semua obyek itu dapat disajikan kepada peserta didik.
3. Media pembelajaran memungkinkan adanya interaksi langsung antara peserta didik dengan lingkungannya.
4. Media menghasilkan keseragaman pengamatan
5. Media dapat menanamkan konsep dasar yang benar, konkrit, dan realistis.
6. Media membangkitkan keinginan dan minat baru.
7. Media membangkitkan motivasi dan merangsang anak untuk belajar.
8. Media memberikan pengalaman yang integral/menyeluruh dari yang konkrit sampai dengan abstrak.

Dalam perkembangannya, media pembelajaran mengikuti perkembangan teknologi. Teknologi yang paling tua yang dimanfaatkan dalam proses belajar adalah percetakan yang bekerja atas dasar prinsip mekanis. Kemudian lahir teknologi audio – visual yang menggabungkan penemuan mekanis dan elektronis untuk tujuan pembelajaran. Teknologi yang muncul selajutnya adalah teknologi mikroposesor yang melahirkan pemakaian komputerdan kegiatan interaktif. Berdasarkan perkembangan teknologi tersebut, terdapat berbagai jenis media belajar, diantaranya :
1. Media Visual : grafik, diagram, chart, bagan, poster, kartun, komik
2. Media Audial : radio, tape recorder, laboratorium bahasa, dan sejenisnya
3. Projected still media : slide; over head projektor (OHP), in focus dan sejenisnya
4. Projected motion media : film, televisi, video (VCD, DVD, VTR), komputer dan sejenisnya .
Salah satu media yang banyak dikembangkan saat ini yaitu media pembelajaran berbasis komputer. Berbagai jenis aplikasi teknologi berbasis komputer dalam pembelajaran umumnya dikenal sebagai computer – assisted instruction (dengan berbantuan komputer). Beberapa ciri media yang dihasilkan teknologi berbasis komputer adalah sebagai berikut :
1. mereka dapat digunakan secara acak, non – sekuensial, atau secara linier
2. mereka dapat digunakan berdasarkan keinginan siswa atau berdasarkan keinginan perancang / pengembang sebagaimana direncanakannya.
3. biasanya gagasan – gagasan disajikan dalam gaya abstrak dengan kata, simbol, dan grafik
4. prinsip – prinsip ilmu kognitif untuk mengembangkan media ini
5. pembelajaran dapat berorientasi siswa dan melibatkan interaktivitas siswa yang tinggi.
Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya, penggunaan komputer sebagai media pembelajaran dikenal dengan nama pembelajaran dengan bantuan komputer (Computer-assisted Instruction – CAI, atau Computer-assisted Learning – CAL). Dilihat dari situasi belajar, komputer dapat digunakan untuk tujuan menyajikan isi pelajaran, CAI dapat berbentuk tutorial, drills and practice, simulasi, dan permainan.
Kehadiran media elektronik seperti komputer dengan berbagai fasilitas program yang dapat memenuhi kebutuhan masyarakat, sebagai media belajar merangsang guru untuk lebih bisa memanfaatkanya sebagai sarana penunjang yang menarik. Salah satu program komputer yang sering dimanfaatkan sebagai media pembelajaran yaitu Program Microsoft Office Powerpoint. Microsoft Office Powerpoint sebagai salah satu program bawahan dari Microsoft Office merupakan salah satu alternatif media pembelajaran yang diniali akan mempengaruhi seluruh komponen pendidikan untuk lebih bijak, lebih maju dan lebih baik. Powerpoint dapat dimanfaatkan dalam penyajian materi pelajaran dan media presentasi dalam berbagai bidang ilmu. Jelasnya, kehadiran program ini cukup memberi warna pada proses pendidikan di kelas. Apalagi melihat bagaimana biasanya pandangan siswa terhadap mata pelajaran matematika yang biasanya dinilai sulit, rumit, menakutkan dan dianggap kurang menarik. Guru hendaknya berpandangan, powerpoint sebagai alternative untuk menanggulangi masalah tersebut bahkan menjadikannya sebagai sarana pokok dalam pembelajaran, eksistensi dan kehadirannya sangat diperlukan. Meski demikian siswa sangat memerlukan arahan dan bimbingan guru. Sehebat apapun alat peraga yang paling canggih, peran guru tetap yang akan menentukan.
Dari penjelasan diatas, jelaslah bahwa mata pelajaran matematika perlu mendapat sentuhan dunia teknologi informasi dan komunikasi sehingga mata pelajaran ini menjadi menarik untuk di pelajari dan lebih mudah dipahami. Demi pencapaian hal yang semacam itu maka memang sangat diperlukan semangat dan keinginan guru untuk mau mencari, mamanfaatkan media pembelajaran berbasis komputer, sebagai sumber ilmu dengan penggunaan Microsoft Office Powerpoint untuk menyajikan materi pelajaran matematika. Khusus untuk mata pelajaran matematika, penggunakan program Microsoft office powerpoint dalam pembelajaran diharapkan akan membantu tercapainya tujuan pembelajaran, yaitu meningkatnya pemahaman siswa tentang materi pelajaran, yang dibuktikan dengan baiknya nilai yang diperoleh, dengan minimal penguasaan sesuai dengan Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM). Namun ada sedikit kendala yaitu masih adanya guru-guru yang belum terbiasa menggunakan komputer sebagai alat bantu pembelajaran. Padahal idealnya untuk menarik perhatian dan minat peserta didik terhadap pembelajaran matematika maka materi pelajaran tersebut harus dikemas dan dibuat tampilan media pembelajaran yang unik, menarik, baik warna, teks, bentuk dan ilustrasinya.
Temuan penelitian sederhana yang penulis dapatkan adalah dengan penggunaan sarana tekhnologi informasi dan komunikasi dalam menyampaikan materi pembelajaran, tampak perubahan minat dan semangat siswa. Sebagai contoh: saat mereka di persilahkan masuk ruang komputer, semua bergegas untuk mencari kursi dibagian depan dengan komputer yang mereka nilai paling baik. Perubahan minat dan ketertarikan ini dapat dipengaruhi oleh beberapa kebiasaan dan hal yang umum dilakukan guru mata pelajaran matematika, yaitu : materi pelajaran matematika biasanya hanya mengandalkan buku panduan atau buku pokok, latihan pada buku siswa, soal – soal yang bentuknya itu – itu saja secara monoton. Dengan materi yang tidak variatif dan kurang menarik itu pada dasarnya dapat menyebabkan kejenuhan siswa dalam usahanya mempelajari materi pelajaran matematika. Namun dengan penggunaan komputer, terutama powerpoint terhadap pembelajaran sejarah pastinya akan membuat tampilan media pembelajaran yang unik, menarik, baik warna, teks, gambar, foto, bentuk dan ilustrasi, menyebabkan masalah ketertarikan terhadap tampilan pembelajaran dapat di atasi. Media powerpoint yang penulis gunakan juga menggunakan penunjang lain, yaitu internet. Di berbagai situs dapat di akses foto-foto, gambar-gambar tentang materi pelajaran sejarah sehingga bisa di masukkan kedalam tampilan media powerpoint. Media yang dibuat dengan program microsof powerpoint, diolah lagi menjadi lebih interaktif dengan menggunakan beberapa hyperlink, pada bagian materi mana yang ingin diperdalam, maka siswa dapat meng”klik” atau memilih pada tampilan monitor komputer. Interaksi antara siswa dengan media digunakan untuk memacu keingin-tahuan siswa dalam melihat, memahami dan materi yang disajikan secara utuh.
Secara mengkhusus, sebagai media pembelajaran dalam bidang ilmu matematika, manfaat penggunaan powerpoint diantaranya adalah sebagai berikut :
1. Penyajian materi pelajaran lebih menarik dan mengubah anggapan matematika sebagai pelajaran yang menakutkan di mata siswa.
Materi pelajaran matematika yang akan diberikan kepada siswa dapat dikemas ke dalam bentuk penyajian powerpoint sehingga materi tersebut dapat menarik perhatian siswa. Dengan demikian, matematika tidak akan dianggap sebagai pelajaran yang menakutkan tetapi sebaliknya dapat menjadi pelajaran yang menarik.
2. Presentasi grafik / gambar
Untuk menampilkan grafik atau gambar, penyajian powerpoint menjadi salah satu alternatif yang baik. Misalnya untuk menggambar bangun ruang tiga dimensi dapat digunakan dengan kombinasi warna, dan untuk menggambar grafik akan lebih mudah sehingga siswa dapat menyimak dengan baik, mudah memahami dan tentunya lebih menarik.
3. Mengemas materi menjadi lebih singkat
Jika dalam suatu presentasii, materi yang akan dibawakan terlalu banyak maka materi tersebut dapat dikemas ke dalam powerpoint sehingga dibuat secara garis besar / point – pointnya saja / dalam bentuk slide.
4. Meningkatkan penguasaan materi
Media pengajaran berbasis tekhnologi komunikasi dan informasi, yang dalam hal ini memanfaatkan program Microsoft office powerpoint, telah membantu peningkatan penguasaan materi pelajaran matematika karena siswa dapat lebih semangat/antusias mengikuti pelajaran dengan tampilan menarik dari gurunya.

Leave a comment »

plis, jangan fobia matematika !!

Pernah dalam suatu diskusi ada pertanyaan unik. Apa kepanjangan dari Matematika? Dalam benak kami, apa ada kepanjangan Matematika, selama ini yang diketahui kebanyakan orang, Matematika adalah tidak lebih dari sekedar ilmu dasar sains dan teknologi yang tentunya bukan merupakan singkatan. Setelah berfikir agak lama hampir mengalami kebuntuan dalam berfikir akhirnya Nara Sumber menjelaskan, bahwa Matematika memiliki kepanjangan dalam 2 versi. Pertama, Matematika merupakan kepanjangan dari MAkin TEkun MAkin TIdak KAbur, dan kedua adalah MAkin TEkun MAkin TIdak KAruan. Dua kepanjangan tersebut tentunya sangat berlawanan.
Untuk kepanjangan pertama mungkin banyak kalangan yang mau menerima dan menyatakan setuju.
Para orang tua tidak perlu khawatir dengan kemampuan matematika para putra-putri mereka. Yang terpenting dalam menumbuhkan cinta anak pada matematika adalah terbiasanya anak menemukan konsep matematika melalui permainan dalam suasana santai di rumah dalam rangka
mempersiapkan masa depan anak.
Jika anak sering menemukan orang tua menggunakan konsep matematika, anak akan menangkap informasi tersebut dan akan mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Seperti, pengaturan uang saku dan tabungan hingga pengaturan jadwal kereta api atau penerbangan,
Tetapi, yang penting untuk diketahui dan dijadikan pegangan adalah bahwa matematika itu merupakan ilmu dasar dari pengembangan sains (basic of science) dan sangat berguna dalam kehidupan. Dalam perdagangan kecil-kecilan saja, orang dituntut untuk mengerti aritmetika minimal penjumlahan dan pengurangan. Bagi pegawai/karyawan perusahaan harus mengerti waktu/jam, Bendaharawan suatu perusahaan harus memahami seluk beluk keuangan. Ahli agama, politikus, ekonom, wartawan, petani, ibu rumah tangga, dan semua manusia sebenarnya dituntut menyenangi matematika yang kemudian berupaya untuk belajar dan memahaminya, mengingat begitu pentingnya dan banyaknya peran matematika dalam kehidupan manusia.
Fakta menunjukkan, tidak sedikit siswa sekolah yang masih menganggap matematika adalah pelajaran yang bikin stress, membuat pikiran bingung, menghabiskan waktu dan cenderung hanya mengotak-atik rumus yang tidak berguna dalam kehidupan. Akibatnya, matematika dipandang sebagai ilmu yang tidak perlu dipelajari dan dapat diabaikan. Selain itu, hal ini juga didukung dengan proses pembelajaran di sekolah yang masih hanya berorientasi pada pengerjaan soal-soal latihan saja. Hampir belum pernah dijumpai proses pembelajaran matematika dikaitkan langsung dengan kehidupan nyata. Menyikapi hal ini, menurut kami, dalam rangka menyelamatkan nyawa matematika, maka satu hal yang segera dilakukan adalah bagaimana membuat siswa senang untuk belajar matematika?

Leave a comment »

Penalaran dalam Matematika

Penalaran dalam matematika sulit dipisahkan dari kaidah-kaidah logika. Penalaran-penalaran yang demikian dalam matematika dikenal dengan istilah penalaran deduktif. Menurut kaidah bahasa Indonesia, penalaran deduktif berarti penalaran yang bersifat deduksi, yaitu penalaran atas dasar hal-hal yang bersifat umum kemudian diturunkan ke hal-hal yang khusus. Sedangkan penalaran induktif, secara bahasa berarti penalaran yang bersifat induksi, yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum. Tercatat beberapa penjelasan tentang deduksi dalam matematika, di antaranya:
Proses penalaran dari prinsip umum diturunkan ke kesimpulan fakta khusus
Proses penalaran yang konklusinya diturunkan secara mutlak dari premis-premisnya
Suatu argument adalah valid deduktif jika dan hanya jika bahwa tidak mungkin konklusi salah padahal premisnya benar.

Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
(1) Premis Mayor – Premis pertama haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis yang kedua
(2) Premis Minor – Premis kedua haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis pertama
(3) Konklusi – Kesimpulannya haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan kedua premis tersebut.

Contoh 2.1
Premis Mayor : Semua serangga termasuk vertebrata
Premis Minor : Semua semut termasuk serangga
Konklusi : Jadi, semua semut termasuk vertebrata

Contoh 2.2
Premis Mayor : Jumlah ketiga sudut segitiga besarnya 1800
Premis Minor : Dua pasang sudut segitiga ukurannya sama besar
Konklusi : Jadi, pasangan sudut ketiga dari dua segitiga itu sama.

Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Berikut beberapa contoh sederhana tentang beberapa aturan dalam penalaran deduktif.

A. Aturan Inferensi Deduksi
Inferensi argumen yang tepat tanpa berdasar kemungkinan disebut inferensi deduksi.

Contoh 2.3
Semua manusia akan meninggal dunia
Ratna adalah seorang manusia
Jadi, Ratna akan meninggal dunia
Dalam argumen contoh 2.3 di atas, premis-premisnya benar, maka jelaslah konklusinya juga benar. Sebab, tidak ada kemungkinan lain selain Ratna akan meninggal.

B. Bukti Langsung
Termasuk dalam bukti langsung ini di antaranya aturan penarikan kesimpulan modus ponens, inferensi deduksi, dan implikasi transitif.

1. Pembuktian dengan Aturan Modus Ponen (modus ponendo ponens)
Aturan dasarnya: “bila p menyebabkan q, ternyata p benar, maka q benar”
Premis (1) : p→ q
Premis (2) : p
Konklusi : q
atau ditulis (p→ q) ∧q → q

Contoh 2.4
Buktikan bahwa siskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari nol mempunyai akar real berbeda.
Bukti
Diskriminan dari x2 – 5x + 1 = 0 adalah 21.
x2 – 5x + 1 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.

Contoh 2.5
Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
Bukti (bukti langsung)
Suatu bilangan ganjil a tidak habis dibagi 2.
a tidak habis dibagi 2, artinya a bersisa 1, yaitu a = 2n + 1; untuk n ∈bilangan bulat.
Padahal 2n + 1 adalah pernyataan dari suatu bilangan ganjil.
Jadi, bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
2. Pembuktian dengan Implikasi Transitif
Aturan dasarnya:
Premis (1) : p→ q
Premis (2) : q → r
Konklusi : p → r
atau ditulis (p→ q) ∧ (q → r) → (p → r)

Contoh 2.6
Buktikan bahwa dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil
Bukti
Dalam bentuk simbol logika dapat ditulis sebagai berikut.
m ∈ bilangan cacah, ( m) (m bilangan ganjil → m2 bilangan ganjil)
Premis (1) : m bil. ganjil → ada n bil. cacah sehingga m = 2n+1
Premis (2) : m = 2n + 1 → m2 = (2n + 1)2
= 4n2 + 4n + 1
= 2(2n2 + 2n) + 1
= 2p + 1 adalah bilangan ganjil
Kesimpulan : Jadi, m bilangan ganjil → m2 bilangan ganjil

C. Kontrapositif
Terkadang kita sulit membuktikan p→ q secara langsung. Bila demikian keadaanya, kita dapat membuktikan kontrapositifnya, yaitu membuktikan kebenaran ∼q→ ∼p. Sebab, dalam ilmu logika diketahui bahwa pernyataan p→ q dan ∼q→ ∼p adalah ekuivalen. Dikatakan, (p→ q) ↔ (∼q→ ∼p) merupakan tautologi
Contoh 2.10
Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
Bukti
Gunakan kontrapositifnya, yaitu untuk membuktikan p→ q cukup dibuktikan ∼q→ ∼p.
Misalkan p : bilangan ganjil dan q : tidak habis dibagi dua, maka ∼p : bilangan genap dan ∼q : habis dibagi dua.
Akan dibuktikan jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap
Jika a adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka ditulis a = 2n; untuk n ∈bilangan bulat. Padahal a = 2n tidak lain sebagai pernyataan dari bilangan genap. Jadi, terbukti jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap.
Dengan kata lain, semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua

Contoh 2.7
Buktikan bahwa jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil
Bukti
Bila pernyataan jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil ditulis sebagai p→ q, maka p dan q masing-masing menjadi
p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil
q : x dan y kedua-duanya ganjil
Akan dibuktikan kontrapositifnya, yaitu ∼q→ ∼p, sehingga
∼q : x dan y kedua-duanya tidak ganjil
Karena x dan y tidak ganjil, artinya genap, maka x = 2n dan y = 2m, untuk m, n ∈ bilangan asli.
Sehingga xy = (2n)(2m) = 2 (2mn). Jadi, xy adalah bilangan genap. Artinya, hasil kali dua bilangan aslil x dan y ternyata tidak ganjil, apabila x dan y masing-masing bukan bilangan ganjil. Dengan kata lain,
∼p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil.
Dengan demikian telah dibuktikan ∼q→ ∼p benar.

D. Bukti Tidak Langsung
Pembuktian argumen dengan cara ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika akibat langkah ini muncul kontradiksi, maka argumen yang dibuktikan adalah valid.
Strateginya dimulai dengan memandang negasi dari proposisinya terbukti. Misalnya, kita ingin membuktikan proposisi p. Kita pandang negasinya, yaitu ∼p. Kita buktikan bahwa ∼p terjadi kontradiksi, misalnya q dan ∼q (tidak mungkin dua sekaligus, sehingga pasti salah). Dari kontrapositif kondisi itu, kita telah membuktikan negasi dari negasi proposisi. Dengan demikian, kita menunjukkan bahwa ∼(q ∧ ∼q) → ∼ (∼p), sehingga ∼(∼p) = p.
Pembuktian tak langsung, dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi atau reduction ad absurdum. Pembuktian dengan cara tidak langsung memang rumit, tetapi hal ini dilakukan manakala kita dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung.

Contoh 2.8
Buktikan bila matriks bujursangkar mempunyai invers, maka inversnya itu tunggal.
Bukti (tidak langsung)
P : matriks bujursangkar yang mempunyai invers
q : invers matris bujursangkar itu tunggal
sehingga ∼q : invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal
Andaikan invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal misalnya ada dua, yaitu L1 dan L2, dengan L1 ≠ L2 .
Misalkan matriks bujursangkar itu M yang mempunyai invers L1 dan L2 dengan L1 ≠ L2 ,
maka M L1 = L1M = I (identitas) , begitu pula M L2= L2M = I(identitas)
Padahal, L1 = L1I = L1(M L2)= (L1M) L2 = I L2 = L2
Jadi, L1 ¬harus sama dengan L2 yang berarti bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa L1 ≠ L2 .
E. Induksi Matematika
Pembuktian cara induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli..
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).

Contoh 2.9
Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2
Bukti
Harus dibuktikan S(n) = 1 + 3 + 5 + … + 2n-1 = n2
(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) = n2 = (12) = 1
(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu
S(k) = 1 + 3 + 5 + … + 2k-1 = k2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu
S(k+1) = 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + 2(k+1) – 1 = (k + 1)2.
Sehingga 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + [2(k+1) – 1] = k2 + 2(k+1) – 1
= k2 + 2k+ 1
= (k + 1)2 (terbukti benar)
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.

Comments (1) »