Penalaran dalam Matematika

Penalaran dalam matematika sulit dipisahkan dari kaidah-kaidah logika. Penalaran-penalaran yang demikian dalam matematika dikenal dengan istilah penalaran deduktif. Menurut kaidah bahasa Indonesia, penalaran deduktif berarti penalaran yang bersifat deduksi, yaitu penalaran atas dasar hal-hal yang bersifat umum kemudian diturunkan ke hal-hal yang khusus. Sedangkan penalaran induktif, secara bahasa berarti penalaran yang bersifat induksi, yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum. Tercatat beberapa penjelasan tentang deduksi dalam matematika, di antaranya:
Proses penalaran dari prinsip umum diturunkan ke kesimpulan fakta khusus
Proses penalaran yang konklusinya diturunkan secara mutlak dari premis-premisnya
Suatu argument adalah valid deduktif jika dan hanya jika bahwa tidak mungkin konklusi salah padahal premisnya benar.

Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
(1) Premis Mayor – Premis pertama haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis yang kedua
(2) Premis Minor – Premis kedua haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis pertama
(3) Konklusi – Kesimpulannya haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan kedua premis tersebut.

Contoh 2.1
Premis Mayor : Semua serangga termasuk vertebrata
Premis Minor : Semua semut termasuk serangga
Konklusi : Jadi, semua semut termasuk vertebrata

Contoh 2.2
Premis Mayor : Jumlah ketiga sudut segitiga besarnya 1800
Premis Minor : Dua pasang sudut segitiga ukurannya sama besar
Konklusi : Jadi, pasangan sudut ketiga dari dua segitiga itu sama.

Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Berikut beberapa contoh sederhana tentang beberapa aturan dalam penalaran deduktif.

A. Aturan Inferensi Deduksi
Inferensi argumen yang tepat tanpa berdasar kemungkinan disebut inferensi deduksi.

Contoh 2.3
Semua manusia akan meninggal dunia
Ratna adalah seorang manusia
Jadi, Ratna akan meninggal dunia
Dalam argumen contoh 2.3 di atas, premis-premisnya benar, maka jelaslah konklusinya juga benar. Sebab, tidak ada kemungkinan lain selain Ratna akan meninggal.

B. Bukti Langsung
Termasuk dalam bukti langsung ini di antaranya aturan penarikan kesimpulan modus ponens, inferensi deduksi, dan implikasi transitif.

1. Pembuktian dengan Aturan Modus Ponen (modus ponendo ponens)
Aturan dasarnya: “bila p menyebabkan q, ternyata p benar, maka q benar”
Premis (1) : p→ q
Premis (2) : p
Konklusi : q
atau ditulis (p→ q) ∧q → q

Contoh 2.4
Buktikan bahwa siskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari nol mempunyai akar real berbeda.
Bukti
Diskriminan dari x2 – 5x + 1 = 0 adalah 21.
x2 – 5x + 1 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.

Contoh 2.5
Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
Bukti (bukti langsung)
Suatu bilangan ganjil a tidak habis dibagi 2.
a tidak habis dibagi 2, artinya a bersisa 1, yaitu a = 2n + 1; untuk n ∈bilangan bulat.
Padahal 2n + 1 adalah pernyataan dari suatu bilangan ganjil.
Jadi, bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
2. Pembuktian dengan Implikasi Transitif
Aturan dasarnya:
Premis (1) : p→ q
Premis (2) : q → r
Konklusi : p → r
atau ditulis (p→ q) ∧ (q → r) → (p → r)

Contoh 2.6
Buktikan bahwa dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil
Bukti
Dalam bentuk simbol logika dapat ditulis sebagai berikut.
m ∈ bilangan cacah, ( m) (m bilangan ganjil → m2 bilangan ganjil)
Premis (1) : m bil. ganjil → ada n bil. cacah sehingga m = 2n+1
Premis (2) : m = 2n + 1 → m2 = (2n + 1)2
= 4n2 + 4n + 1
= 2(2n2 + 2n) + 1
= 2p + 1 adalah bilangan ganjil
Kesimpulan : Jadi, m bilangan ganjil → m2 bilangan ganjil

C. Kontrapositif
Terkadang kita sulit membuktikan p→ q secara langsung. Bila demikian keadaanya, kita dapat membuktikan kontrapositifnya, yaitu membuktikan kebenaran ∼q→ ∼p. Sebab, dalam ilmu logika diketahui bahwa pernyataan p→ q dan ∼q→ ∼p adalah ekuivalen. Dikatakan, (p→ q) ↔ (∼q→ ∼p) merupakan tautologi
Contoh 2.10
Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
Bukti
Gunakan kontrapositifnya, yaitu untuk membuktikan p→ q cukup dibuktikan ∼q→ ∼p.
Misalkan p : bilangan ganjil dan q : tidak habis dibagi dua, maka ∼p : bilangan genap dan ∼q : habis dibagi dua.
Akan dibuktikan jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap
Jika a adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka ditulis a = 2n; untuk n ∈bilangan bulat. Padahal a = 2n tidak lain sebagai pernyataan dari bilangan genap. Jadi, terbukti jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap.
Dengan kata lain, semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua

Contoh 2.7
Buktikan bahwa jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil
Bukti
Bila pernyataan jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil ditulis sebagai p→ q, maka p dan q masing-masing menjadi
p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil
q : x dan y kedua-duanya ganjil
Akan dibuktikan kontrapositifnya, yaitu ∼q→ ∼p, sehingga
∼q : x dan y kedua-duanya tidak ganjil
Karena x dan y tidak ganjil, artinya genap, maka x = 2n dan y = 2m, untuk m, n ∈ bilangan asli.
Sehingga xy = (2n)(2m) = 2 (2mn). Jadi, xy adalah bilangan genap. Artinya, hasil kali dua bilangan aslil x dan y ternyata tidak ganjil, apabila x dan y masing-masing bukan bilangan ganjil. Dengan kata lain,
∼p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil.
Dengan demikian telah dibuktikan ∼q→ ∼p benar.

D. Bukti Tidak Langsung
Pembuktian argumen dengan cara ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika akibat langkah ini muncul kontradiksi, maka argumen yang dibuktikan adalah valid.
Strateginya dimulai dengan memandang negasi dari proposisinya terbukti. Misalnya, kita ingin membuktikan proposisi p. Kita pandang negasinya, yaitu ∼p. Kita buktikan bahwa ∼p terjadi kontradiksi, misalnya q dan ∼q (tidak mungkin dua sekaligus, sehingga pasti salah). Dari kontrapositif kondisi itu, kita telah membuktikan negasi dari negasi proposisi. Dengan demikian, kita menunjukkan bahwa ∼(q ∧ ∼q) → ∼ (∼p), sehingga ∼(∼p) = p.
Pembuktian tak langsung, dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi atau reduction ad absurdum. Pembuktian dengan cara tidak langsung memang rumit, tetapi hal ini dilakukan manakala kita dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung.

Contoh 2.8
Buktikan bila matriks bujursangkar mempunyai invers, maka inversnya itu tunggal.
Bukti (tidak langsung)
P : matriks bujursangkar yang mempunyai invers
q : invers matris bujursangkar itu tunggal
sehingga ∼q : invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal
Andaikan invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal misalnya ada dua, yaitu L1 dan L2, dengan L1 ≠ L2 .
Misalkan matriks bujursangkar itu M yang mempunyai invers L1 dan L2 dengan L1 ≠ L2 ,
maka M L1 = L1M = I (identitas) , begitu pula M L2= L2M = I(identitas)
Padahal, L1 = L1I = L1(M L2)= (L1M) L2 = I L2 = L2
Jadi, L1 ¬harus sama dengan L2 yang berarti bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa L1 ≠ L2 .
E. Induksi Matematika
Pembuktian cara induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli..
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).

Contoh 2.9
Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2
Bukti
Harus dibuktikan S(n) = 1 + 3 + 5 + … + 2n-1 = n2
(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) = n2 = (12) = 1
(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu
S(k) = 1 + 3 + 5 + … + 2k-1 = k2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu
S(k+1) = 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + 2(k+1) – 1 = (k + 1)2.
Sehingga 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + [2(k+1) – 1] = k2 + 2(k+1) – 1
= k2 + 2k+ 1
= (k + 1)2 (terbukti benar)
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.

About these ads

1 Tanggapan so far »

  1. 1

    Mr WordPress berkata,

    Hi, this is a comment.
    To delete a comment, just log in, and view the posts’ comments, there you will have the option to edit or delete them.


Comment RSS · TrackBack URI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: